A Die numerische Herleitung der a-Terme

Im folgenden soll der im Kapitel 3.5. übersprungene Weg zur Numerik im einzelnen aufgeführt werden.

Hier werden die Ableitungen unter Anwendung der expliziten Dreipunktgleichung für ein bekanntes Feld benutzt.

Zum Beispiel sieht das wie folgt aus:

Folgende Symbolik wird benutzt:

Zählt den einzelnen Schritt in die r-Richtung

und

Zählt den einzelnen Schritt in die q-Richtungen

und

Abstand zwischen zwei Schritten in q-Richtung

hier werden die Kugelkoordinaten (r,θ,f) mit r,t,f abgekürzt!

Folgende Substitutionen wurden durchgeführt:

a = A r sin (θ)

b = B r sin (θ)

Der poloidale Anteil der Induktionsgleichung:

Nur der rechte Teil der Gleichung wird nun weiter betrachtet.

Numerische Zerlegung, Schritt 1: Anwenden der Dreipunktformel

Auf Grund der numerischen Auflösung der Zeitableitungen bzw. , müssen die Gleichungen noch mit multipliziert werden.

Der Term bzw. wird an anderer Stelle in die Gleichung hinzugefügt! Außerdem soll die Gleichung durch geschicktes Ausklammern für die Substitution von Koeffizientenfeldern vorbereitet werden.

Numerische Zerlegung, Schritt 2: Auflösen der Klammern und Multiplikation mit

Der toroidale Anteil der Induktionsgleichung, folgt analog:

Numerische Zerlegung, Schritt 1: Anwenden der Dreipunktformel

Numerische Zerlegung, Schritt 2: Auflösen der Brüche zu einzelnen Termen

Numerische Zerlegung, Schritt 3: Ausmultiplizieren

Numerische Zerlegung, Schritt 4: Multiplikation mit

Numerische Zerlegung, Schritt 5: Ausklammern der konstanten Koeffizientenfelder

So ergibt sich die endgültige Zerlegung in einfache Terme für die Simulation.